Теорема. Вероятность суммы несовместных событий иравна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1. С помощью метода математической индукции формулу (3.10) можно обобщить на любое число попарно несовместных событий:

Следствие 2. Поскольку противоположные события являются несовместными, а их сумма – достоверным событием, то, используя (3.10), имеем:

Часто при решении задач формулу (3.12) используют в виде:

(3.13)

Пример 3.29. В опыте с бросанием игральной кости найти вероятности выпадения на верхней грани числа очков более 3 и менее 6.

Обозначим события, связанные с выпадением на верхней грани игральной кости одного очка, через U 1 , двух очков через U 2 ,…, шести очков через U 6 .

Пусть событие U – выпадение на верхней грани кости числа очков более 3 и менее 6. Это событие произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий U 4 или U 5 , следовательно, его можно представить в виде суммы этих событий: . Т. к. событияU 4 и U 5 являются несовместными, то для нахождения вероятности их суммы используем формулу (3.11). Учитывая, что вероятности событий U 1 , U 2 ,…,U 6 равны , получим:

Замечание. Ранее задачи такого типа решали с помощью подсчета числа благоприятствующих исходов. Действительно, событию U благоприятствуют два исхода, а всего шесть элементарных исходов, следовательно, используя классический подход к понятию вероятности, получим:

Однако классический поход к понятию вероятности, в отличие от теоремы о вероятности суммы несовместных событий, применим только для равновозможных исходов.

Пример 3.30. Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,7. Какова вероятность того, что стрелок не попадет в цель?

Пусть событие − попадание стрелком в цель, тогда событие, состоящее в том, что стрелок не попадет в цель, является противоположным событиемсобытию, т. к. в результате каждого испытания всегда происходит одно и только одно из этих событий. Используя формулу (3.13), получим:

3.2.10. Вероятность произведения событий

Определение. Событие называетсязависимым от события если вероятность события зависит от того, произошло событиеили нет.

Определение. Вероятность события вычисленная при условии, что событиепроизошло, называетсяусловной вероятностью события и обозначается

Теорема. Вероятность произведения событий иравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Условие независимости события от события можно записать в виде Из этого утверждения следует, что для независимых событий выполняется соотношение:

т. е. вероятность произведения независимых событий и, равна произведению их вероятностей.

Замечание. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Если события независимые, то имеем:

Пример 3.31. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из него наугад последовательно без возвращения вытаскивают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Пусть событие − появление белого шара при первом вынимании,− появление белого шара при втором вынимании. Учитывая, что,(вероятность появления второго белого шара при условии, что первый вынутый шар был белым и его не возвратили в ящик). Так как событияизависимые, то вероятность их произведения найдем по формуле (3.15):

Пример 3.32. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок выстрелил по мишени. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Какова вероятность того, что один стрелок попадет в цель?

Пусть событие – попадание в цель первым стрелком,– вторым. Все возможные варианты можно представить в видетаблицы 3.5 , где «+» обозначает, что событие произошло, а «−» − не произошло.

Таблица 3.5

Пусть событие – попадание хотя бы одним стрелком в цель, Тогда событиеявляется суммой независимых событийиследовательно, применить теорему о вероятности суммы несовместных событий в данной ситуации нельзя.

Рассмотрим событие противоположное событиюкоторое произойдет тогда, когда ни один стрелок не попадет в цель, т. е. является произведением независимых событийИспользуя формулы (3.13) и (3.15), получим:

Пусть событие – попадание одним стрелком в цель. Это событие можно представить следующим образом:

События и– независимые, событияитакже являются независимыми. События, являющиеся произведениями событийи– несовместными. Используя формулы (3.10) и (3.15) получим:

Свойства операций сложения и умножения событий:

3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий (гипотез),,…,, образующих полную группу, т. е.

Вероятность события находится по формулеполной вероятности:

Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулеБайеса :

(3.17)

Пример 3.33. Имеются две одинаковых урны с шарами. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй − 3 белых и 7 черных шаров. Выбирают наугад одну урну и вытаскивают из нее один шар.

Найти вероятность того, что этот шар белый.

Из наугад выбранной урны вытащили белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащили из первой урны.

Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства равняется 1. Например, если экспериментом является подбрасывание монеты при Событии А = «орел» и Событии В = «решка», то А и В представляют собой все выборочное пространство. Значит, Р(А) +Р(В) = 0.5 + 0.5 = 1 .

Пример. В ранее предложенном примере вычисления вероятности извлечения из кармана халата красной ручки (это событие А), в котором лежат две синих и одна красная ручка, Р(А) = 1/3 ≈ 0.33, вероятность противоположного события – извлечения синей ручки – составит

Прежде чем перейти к основным теоремам, введем еще два более сложных понятия - сумма и произведение событий. Эти понятия отличны от привычных понятий суммы и произведения в арифметике. Сложение и умножение в теории вероятностей - символические операции, подчиненные определенным правилам и облегчающие логическое построение научных выводов.

Суммой нескольких событий является событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. То есть, суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе.

Например, если пассажир ждет на остановке трамваев какой-либо из двух маршрутов, то нужное ему событие заключается в появлении трамвая первого маршрута (событие А), или трамвая второго маршрута (событие В), или в совместном появлении трамваев первого и второго маршрутов (событие С). На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде:

D = A + B + C

Произведением двух событий А и В является событие, заключающееся в совместном появлении событий А и В . Произведением нескольких событий называется совместное появление всех этих событий.

В приведенном примере с пассажиром событие С (совместное появление трамваев двух маршрутов) представляет собой произведение двух событий А и В , что символически записывается следующим образом:

Допустим, что два врача порознь осматривают пациента с целью выявления конкретного заболевания. В процессе осмотров возможно появление следующих событий:

Обнаружение заболеваний первым врачом (А );

Необнаружение заболевания первым врачом ();

Обнаружение заболевания вторым врачом (В );

Необнаружение заболевания вторым врачом ().

Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров ровно один раз. Это событие может реализоваться двумя способами:

Заболевание обнаружит первый врач (А ) и не обнаружит второй ();

Заболеваний не обнаружит первый врач () и обнаружит второй (B ).

Обозначим рассматриваемое событие через и запишем символически:

Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров дважды (и первым, и вторым врачом). Обозначим это событие через и запишем: .

Событие, заключающееся в том, что ни первый, ни второй врач заболевания не обнаружит, обозначим через и запишем: .

Основные теоремы теории вероятности

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Запишем теорему сложения символически:

Р(А + В) = Р(А)+Р(В) ,

где Р - вероятность соответствующего события (событие указывается в скобках).

Пример . У больного наблюдается желудочное кровотечение. Этот симптом регистрируется при язвенной эрозии сосуда (событие А), разрыве варикозно-расширенных вен пищевода (событие В), раке желудка (событие С), полипе желудка (событие D), геморрагическом диатезе (событие F), механической желтухе (событие Е) и конечном гастрите (событие G ).

Врач, основываясь на анализе статистических данных, присваивает каждому событию значение вероятности:

Всего врач имел 80 больных с желудочным кровотечением (n = 80), из них у 12 была язвенная эрозия сосуда (), у 6 - разрыв варикозно-расширенных вен пищевода (), у 36 - рак желудка () и т. д.

Для назначения обследования врач хочет определить вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка (событие I):

Вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка, достаточно высока, и врач может определить тактику обследования, исходя из предположения о заболевании желудка, обоснованном на количественном уровне с помощью теории вероятностей.

Если рассматриваются совместные события, вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности совместного их наступления.

Символически это записывается следующей формулой:

Если представить себе, что событие А заключается в попадании при стрельбе в мишень, заштрихованную горизонтальными полосами, а событие В - в попадании в мишень, заштрихованную вертикальными полосами, то в случае несовместных событий по теореме сложения вероятность суммы равна сумме вероятностей отдельных событий. Если же эти события совместны, то есть некоторая вероятность, соответствующая совместному наступлению событий А и В . Если не ввести поправку на вычитаемое Р(АВ) , т.е. на вероятность совместного наступления событий, то эта вероятность будет учтена дважды, так как площадь, заштрихованная и горизонтальными, и вертикальными линиями, является составной частью обеих мишеней и будет учитываться как в первом, так и во втором слагаемом.

На рис. 1 дана геометрическая интерпретация, наглядно иллюстрирующая данное обстоятельство. В верхней части рисунка помещены непересекающиеся мишени, являющиеся аналогом несовместных событий, в нижней части - пересекающиеся мишени, являющиеся аналогом совместных событий (одним выстрелом можно попасть сразу и в мишень А, и в мишень В).

Прежде чем перейти к теореме умножения, необходимо рассмотреть понятия независимых и зависимых событий и условной и безусловной вероятностей.

Независимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого не зависит от появления или непоявления события В.

Зависимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого зависит от появления или непоявления события В.

Пример . В урне находятся 3 шара, 2 белых и 1 черный. При выборе шара наугад вероятность выбрать белый шар (событие А) равна: Р(А) = 2/3, а черный (событие В)Р(В) = 1/3. Мы имеем дело со схемой случаев, и вероятности событий рассчитываются строго по формуле. При повторении опыта вероятности появления событий А и В остаются неизменными, если после каждого выбора шар возвращается в урну. В этом случае события А и В являются независимыми. Если же выбранный в первом опыте шар в урну не возвращается, то вероятность события (А) во втором опыте зависит от появления или непоявления события (В) в первом опыте. Так, если в первом опыте появилось событие В (выбран черный шар), то второй опыт проводится при наличии в урне 2 белых шаров и вероятность появления события А во втором опыте равна: Р(А) = 2/2= 1.

Если же в первом опыте не появилось событие В(выбран белый шар), то второй опыт проводится при наличии в урне одного белого и одного черного шаров и вероятность появления события А во втором опыте равна: Р(А)=1/2. Очевидно, в этом случае события А и В тесно связаны и вероятности их появления являются зависимыми.

Условной вероятностью события А называется вероятность его появления при условии, что появилось событие В. Условная вероятность символически обозначается Р(А/В).

Если вероятность появления события А не зависит от появления события В , то условная вероятность события А равна безусловной вероятности:

Если вероятность появления события А зависит от появления события В, то условная вероятность никогда не может быть равна безусловной вероятности:

Выявление зависимости различных событий между собой имеет большое значение в решении практических задач. Так, например, ошибочное предположение о независимости появления некоторых симптомов при диагностике пороков сердца по вероятностной методике, разработанной в Институте сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева, обусловило около 50% ошибочных диагнозов.

Мы уже знаем, что вероятность – это численная мера возможности наступления случайного события, т.е. события, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. При изменении совокупности условий вероятность случайного события может измениться. В качестве дополнительного условия мы можем рассмотреть наступление другого события. Итак, если к комплексу условий, при котором происходит случайное событие А , добавить еще одно, состоящее в наступлении случайного события В , то вероятность наступления события А будет называться условной.

Условная вероятность события А - вероятность появления события А при ус­ловии, что произошло событие В. Условная вероятностьобозначается (A ).

Пример 16. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличаю­щихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что случайным образом вынимают один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что, второй вынутый шар – черный, если при первом извлечении достали белый шар?

Решение.

Перед нами два случайных события: событие А – первый вынутый шар оказался белым, В – второй вынутый шар - черный. А и В несовместные события, воспользуемся классическим определением вероятности. Число элементарных исходов при извлечении первого шара – 12, а число благоприятных исходов достать белый шар – 7. Следовательно, вероятность P(А) = 7/12.

Если первый шар оказался белым, то условная вероятность события В - появления второго черного шара (при условии, что первый шар был белым) - равна (В) = 5/11, так как перед выни­манием второго шара осталось 11 шаров, из которых 5 черных.

Отметим, что вероятность появления черного шара при втором извлечении не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вы­нув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик.

Рассмотрим два случайных события А и В. Пусть вероятности P(А) и (В) известны. Определим, чему равна вероятность появления и события А, и события В, т.е. произведения этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при том условии, что первое событие произошло:

Р(А× В) = Р(А)× (В) .

Так как для вычисления вероятности произведения не играет роли какое из рассмотренных событий А и В было первым, а какое вторым, то можно записать:

Р(А× В) = Р(А) × (В) = Р(В) × (А).

Теорему можно распространить на произведение п событий:

Р(А 1 А 2 . А п) = Р(А х) Р(А 2 /А 1) .. Р(А п /А 1 А 2 ... А п-1).

Пример 17. Для условий предыдущего примера вычислить вероятность извлечения двух шаров: а) белого шара первым, а черного вторым; б) двух черных шаров.

Решение.

а)Из предыдущего примера мы знаем вероятности достать из ящика белый шар первым и черный шар вторым, при условии, что первым извлекли белый шар. Для подсчета вероятности появления обоих событий вместе воспользуемся теоремой умножения вероятностей: Р(А× В) = Р(А) × (В)= .

б) Аналогично рассчитаем вероятность вынуть два черных шара. Вероятность достать первым черный шар . Вероятность достать черный шар во второй раз при условии, что первый вынутый черный шар мы не опускаем обратно в ящик (черных шаров осталось 4, а всего шаров стало 11). Результирующую вероятность можно подсчитать по формуле Р(А×В)= Р(А) × (В) 0,152.

Теорема умножения вероятностей имеет более простой вид, если события А и В независимые.

Событие В называют независимым от события А, если вероят­ность события В не изменяется от того, произошло событие А или нет. Если событие В является независимым от события А, то его условная (В) равна обычной вероятности P(В):

Оказывается, что если событие В будет независимым от события А , то и событие А будет независимым от В , т.е. (А)= P(А).

Докажем это. Подставим равенство из определения независимости события В от события А в теорему умножения вероятностей: Р(А×В) = Р(А)× (В)= Р(А)× (В). Но с другой стороны Р(А× В) = Р(В) × (А). Значит Р(А) × (В)= Р(В) × (А) и (А)= P(А).

Таким образом, свойство независимость (или зависимость) событий всегда взаимно и можно дать следующее определение: два события называются независимыми , если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

Следует отметить, что в основе независимости событий лежит независимость физической природы их происхождения. Это означает, что наборы случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания одного и другого случайного события, различны. Так, например, поражение цели одним стрелком никак не влияет (если, конечно, не придумывать никаких экзотических причин) на вероятность попадания в цель вторым стрелком. На практике независимые события встречаются очень часто, так как причинная связь явлений во многих случаях отсутствует или несущест­венна.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий: Р(А×В) = Р(А) × P(В).

Из теоремы умножения вероятностей для независимых событий вытекает следующее следствие.

Если события А и В несовместные и P(A)¹0, P(В)¹0, то они зависимы.

Докажем это способом от противного. Предположим, что несовместные события А и В независимы. Тогда Р(А×В) = Р(А) ×P(В). И так как P(A)¹0, P(В)¹0 , т.е. события А и В не являются невозможными, то Р(А×В)¹0. Но, с другой стороны, событие А ž В является невозможным как произведение несовместных событий (это рассматривалось выше). Значит Р(А×В)=0. получили противоречие. Таким образом, наше исходное предположение неверно. События А и В – зависимые.

Пример 18 . Вернемся теперь к нерешенной задаче о двух стрелках, стреляющих по одной цели. Напомним, что при ве­роятности попадания в цель первым стрелком – 0,8, а вторым 0,7 необходимо найти вероятность поражения цели.

События А и В – попадание в цель соответственно первым и вторым стрелком – совместные, поэтому для нахождения вероятности суммы событий А + В – поражение цели хотя бы одним стрелком – необходимо воспользоваться формулой: Р(А +В)=Р(А)+ Р(В) –Р(А žВ). События А и В независимые, поэтому Р(А× В) = Р(А) × P(В).

Итак, Р(А +В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × P(В).

Р(А +В)= 0,8 + 0,7 – 0,8×0,7 = 0,94.

Пример 19.

Производится два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а при втором - 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.

1) Обозначим попадание при первом выстреле как событие
А 1 , при втором - как событие А 2 .

Попадание в мишень предполагает хотя бы одно попада­ние: или только при первом выстреле, или только при втором, или и при первом, и при втором. Следовательно, в задаче требу­ется определить вероятность суммы двух совместных событий А 1 и А 2:

Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2)-Р(А 1 А 2).

2) Так как события независимы, то Р(А 1 А 2) = Р(А 1) Р(А 2).

3) Получаем: Р(А 1 + А 2) = 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 = 0,92.
Если события несовместны, то Р(А В) = 0 и Р(А + В) = = Р(А) + Р(В).

Пример 20.

В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?

1) Пусть событие А - извлечение красного шара из урны,
событие В - извлечение синего шара. Тогда событие (А + В)
есть извлечение цветного шара из урны.

2) Р(А) = 3/10, Р(В) = 5/10.

3) События А и В несовместны, так как извлекается только
один шар. Тогда: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Пример 21.

В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Какова вероят­ность: 1) извлечения из урны белого шара (событие А); 2) из­влечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является белым (событие В); 3) извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является черным (событие С)?

1) Р(А) = = 0,7 (см. классическую вероятность).

2)Р В (А) = = 0,(6).

3) Р С (А) = | = 0,(7).

Пример 22.

Механизм собирается из трех одинаковых деталей и счита­ется неработоспособным, если все три детали вышли из строя. В сборочном цехе осталось 15 деталей, из которых 5 нестандарт­ных (бракованных). Какова вероятность того, что собранный из взятых наугад оставшихся деталей механизм будет неработос­пособным?

1) Обозначим искомое событие через А, выбор первой не­стандартной детали через А 1 , второй- через А 2 , третьей - через А 3

2) Событие А произойдет, если произойдет и событие А 1 и событие А 2 , и событие А 3 т. е.

А = А 1 А 2 А 3 ,

так как логическое «и» соответствует произведению (см. раз­дел «Алгебра высказываний. Логические операции»).

3) События А 1 , А 2 , А 3 зависимы, поэтому Р(А 1 А 2 А 3) =
= Р(А 1) Р(А 2 /А 1) Р(А 3 /А 1 А 2).

4)Р(А 1) = ,Р(А 2 /А 1) = ,Р(А 3 /А 1 А 2)= . Тогда

Р(А 1 А 2 А 3) = 0,022.

Для независимых событий: Р(А В) = Р(А) Р(В).

Исходя из вышеуказанного, критерий независимости двух событий А и В:

Р(А) = Р В (А) = Р (А), Р(В) = Р А (В) =Р (В).

Пример 23.

Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

1) Пусть С - интересующее нас событие; противоположное событие - состоит в том, что оба стрелка промахнулись.

3) Так как при стрельбе один стрелок не мешает другому, то события и независимы.

Имеем: Р() = Р() Р() = =(1 - 0,9) (1 - 0,8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) Р(С) = 1 -Р() = 1 -0,02 = 0,98.

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти в результате проявления одного и только одного события Н i (i = 1,2,... n) из некоторой полной группы несовместных событий H 1 , H 2,… H n . События этой группы обычно называют гипотезами.

Формула полной вероятности. Вероятность события А рав­на сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, об­разующих полную группу, на соответствующие условные ве­роятности данного события А:

Р(А) = , где = 1.

Пример 24.

Имеется 3 одинаковые урны. В первой - 2 белых и 1 чер­ный шар, во второй - 3 белых и 1 черный шар, в третьей урне - 2 белых и 2 черных шара. Из выбранной наугад урны выбира­ется 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероят­ность выбрать i-ю урну есть

Р(H i) = 1/3, где i = 1, 2, 3.

2) Вероятность вынуть белый шар из первой урны: (А) = .

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: (А) = .

Вероятность вынуть белый шар из третьей урны: (А) = .

3) Искомая вероятность:

Р(А) = =0.63(8)

Пример 25.

В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых: I - 50%, II - 30%, III - 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I - 2%, П - 2%, III - 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доб­рокачественным (событие А)?

1) Здесь возможны следующие три гипотезы: H 1 , H 2, H 3 -
приобретенная вещь выработана соответственно на I, II, III фабриках; система этих гипотез полная.

Вероятности: P(H 1) = 0,5; Р(Н 2) = 0,3; Р(Н 3) = 0,2.

2) Соответствующие условные вероятности события А рав­ны: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (А) = = 1-0,05 = 0,95.

3) По формуле полной вероятности имеем: Р(А) = 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 = 0,971.

Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)

Рассмотрим ситуацию.

Имеется полная группа несовместных гипотез H 1 , H 2, … H n , вероятности которых (i = 1, 2, ... п) известны до опыта (вероят­ности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события А, причем изве­стно, что этому событию наши гипотезы приписывали опреде­ленные вероятности (i=1, 2, ...п). Каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори)?

Ответ на подобный вопрос дает формула апостериорной вероятности (формула Бейеса):

, где i=1,2, ...п.

Пример 26.

Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного комплекса (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) - 0,1. Каждый из комплексов производит по одно­му выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в само­лет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел при­надлежит первому ракетному комплексу?

Решение.

1) До опыта возможны четыре гипотезы:

H 1 = А В - самолет поражен 1 -м комплексом и самолет поражен 2-м комплексом (произведение соответствует логичес­кому «и»),

H 2 = А В - самолет поражен 1 -м комплексом и само­лет не поражен 2-м комплексом,

H 3 = А В - самолет не поражен 1 -м комплексом и са­молет поражен 2-м комплексом,

H 4 = А В - самолет не поражен 1 -м комплексом и са­молет не поражен 2-м комплексом.

Эти гипотезы образуют полную группу событий.

2) Соответствующие вероятности (при независимом действии комплексов):

Р(H 1) = 0,2 0,1 = 0,02;

Р(H 2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;

Р(Н 3) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;

Р(H 4) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.

3) Так как гипотезы образуют полную группу событий, то должно выполняться равенство = 1.

Проверяем: Р(H 1) + Р(Н 2) + Р(H 3) + Р(H 4) = 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 = 1, таким образом, рассматриваемая группа гипо­тез верна.

4) Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут: (С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H 1 , предполагает два попадания:

(С) = 1; (С) = 1.

(С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H 4 предполагает отсутствие попаданий. Следовательно, гипотезы H 1 , и H 4 отпадают.

5)Вероятности гипотез H 2 и H 3 вычисляем по формуле Бейеса:

0,7, 0,3.

Таким образом, с вероятностью приблизительно 70% (0,7) можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит первому ракетному комплексу.

5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.

Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной .

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: , , .

Итак, примерами случайных величин могут быть:

1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:

2) число тузов, при взятии из колоды 6 карт;

3) количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;

4) число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;

5) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;

6) рост случайно взятого человека.

Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а , b ).

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называютзаконом распределения дискретной случайной величины. , …, Х=

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.

Пример 27. Случайным образом бросается монета. Построить ряд и многоугольник распределения числа выпавших гербов.

Случайная величина, равная количеству выпавших гербов, может принимать два значения: 0 и 1. Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 – выпадению решки. Вероятности выпадения герба и выпадения решки одинаковы и равны . Т.е. вероятности, с которыми случайная величина принимает значения 0 и 1, равны . Ряд распределения имеет вид: